الدفعات الثابتة: القيمة المكتسبة والقيمة الحالية

3. القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة واستعمال صيغتها

1. وضعية انطلاق: دين يُسدَّد بأربع دفعات

اشترت مؤسسة «تيديكلت للأجهزة» معدات، واتفقت مع المورّد على تسديد ثمنها بأربع دفعات قدر كل منها 150 000 دج في نهاية كل سنة، أولاها بعد سنة من الشراء، بمعدل 6 %. ما الثمن النقدي المكافئ يوم الشراء؟

نحيّن كل دفعة إلى التاريخ 0 (يوم الشراء): الدفعة التي تقع في التاريخ $k$ تُضرب في $(1{,}06)^{-k}$.

| الدفعة | تاريخها | المعامل $(1{,}06)^{-k}$ | القيمة في التاريخ 0 (دج) | |---|---|---|---| | الأولى | 1 | 0,943396 | 141 509,40 | | الثانية | 2 | 0,889996 | 133 499,40 | | الثالثة | 3 | 0,839619 | 125 942,85 | | الرابعة | 4 | 0,792094 | 118 814,10 | | المجموع | — | — | 519 765,75 |

قيمة الدين يوم الشراء نحو 519 765,75 دج، بينما تدفع المؤسسة فعلياً $4 \times 150\,000 = 600\,000$ دج؛ الفرق فوائد التأجيل.


يبيّن الشكل كل دفعة من 150 ألف دينار مقسومة إلى جزأين: الجزء الأزرق قيمتها في التاريخ 0، والجزء الرمادي ما يضيع منها بالتحيين (الخصم). كلما ابتعدت الدفعة في الزمن صغرت قيمتها الحالية.

2. الصيغة العامة للقيمة الحالية

الطريقة 1: انطلاقاً من القيمة المكتسبة

القيمة المكتسبة $V_n$ هي قيمة السلسلة كلها في التاريخ $n$، فقيمتها في التاريخ 0 نحصل عليها بتحيين $V_n$ بـ $n$ فترة، كأيّ رأس مال وحيد:

$ V_0 = V_n\,(1+i)^{-n} $

نعوّض $V_n$ بصيغتها:

$ V_0 = a\,\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}\,(1+i)^{-n} $

وبما أنّ $\left[(1+i)^n - 1\right](1+i)^{-n} = 1 - (1+i)^{-n}$:

$ V_0 = a\,\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i} $

الطريقة 2: مجموع الدفعات المحيَّنة

$ V_0 = a(1+i)^{-1} + \dots + a(1+i)^{-n} $

نُخرج $a(1+i)^{-n}$ عاملاً مشتركاً فيبقى بين القوسين $(1+i)^{n-1} + \dots + (1+i) + 1$، وهو مجموع المتتالية الهندسية الذي وجدناه في الجزء الثاني، أي $\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$. فنعود إلى الصيغة نفسها.

> القيمة الحالية لسلسلة من $n$ دفعة ثابتة $a$ لنهاية المدة بمعدل $i$، محسوبةً قبل الدفعة الأولى بفترة واحدة: $V_0 = a\,\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$

تحقّق على الوضعية: المعامل بمعدل 6 % و4 دفعات هو $3{,}465106$، فـ $V_0 = 150\,000 \times 3{,}465106 = 519\,765{,}90$ دج. الفرق 15 سنتيماً مع مجموع الجدول (519 765,75) سببه تقريب كل معامل من المعاملات الأربعة إلى ستة أرقام؛ والطريقتان مقبولتان.

3. معامل القيمة الحالية وجدوله

نسمّي $\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ معامل القيمة الحالية: هو القيمة الحالية لسلسلة من $n$ دفعة قدر كل منها 1 دج. وهو دائماً أصغر من $n$.

| n | 5 % | 6 % | 8 % | 10 % | |---|---|---|---|---| | 1 | 0,952381 | 0,943396 | 0,925926 | 0,909091 | | 2 | 1,859410 | 1,833393 | 1,783265 | 1,735537 | | 3 | 2,723248 | 2,673012 | 2,577097 | 2,486852 | | 4 | 3,545951 | 3,465106 | 3,312127 | 3,169865 | | 5 | 4,329477 | 4,212364 | 3,992710 | 3,790787 | | 6 | 5,075692 | 4,917324 | 4,622880 | 4,355261 | | 7 | 5,786373 | 5,582381 | 5,206370 | 4,868419 | | 8 | 6,463213 | 6,209794 | 5,746639 | 5,334926 | | 9 | 7,107822 | 6,801692 | 6,246888 | 5,759024 | | 10 | 7,721735 | 7,360087 | 6,710081 | 6,144567 |

إذا أعطى الموضوع $(1+i)^{-n}$ فقط فاحسب منه المعامل: مثلاً $(1{,}05)^{-6} = 0{,}746215$ يعطي $\dfrac{1 - 0{,}746215}{0{,}05} = 5{,}0757$، والجدول يعطي $5{,}075692$. الفرق لا يغيّر المبالغ إلا ببضعة سنتيمات، والمهم أن تظهر الطريقة.

4. العلاقات المشتقّة

| المطلوب | العلاقة | |---|---| | القيمة الحالية | $V_0 = a\,\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ | | الدفعة الثابتة | $a = V_0\,\dfrac{i}{1 - (1+i)^{-n}}$ | | تكلفة التأجيل (مجموع الفوائد) | $n\,a - V_0$ | | الانتقال بين القيمتين | $V_n = V_0(1+i)^n$ و$V_0 = V_n(1+i)^{-n}$ | | عدد الدفعات | نحسب $\dfrac{V_0}{a}$ ونبحث عنه في عمود المعدل |

صيغة الدفعة $a = V_0\,\dfrac{i}{1 - (1+i)^{-n}}$ هي بالضبط صيغة الدفعة الثابتة للقرض العادي التي يُبنى عليها جدول استهلاك القرض.

5. استعمال الصيغة العامة: أمثلة محلولة

المثال 1: الثمن النقدي المكافئ لشراء بالتقسيط

تشتري مؤسسة «الونشريس للنقل» شاحنة تسدّد ثمنها بست دفعات سنوية قدر كل منها 400 000 دج، أولاها بعد سنة من الشراء، بمعدل 8 %.

$ V_0 = 400\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}08^{-6}}{0{,}08} $

$ V_0 = 400\,000 \times 4{,}622880 $

أي $V_0 = 1\,849\,152$ دج: هذا هو ثمن الشاحنة نقداً يوم الشراء. المبلغ الإجمالي المدفوع $6 \times 400\,000 = 2\,400\,000$ دج، فتكلفة التقسيط $2\,400\,000 - 1\,849\,152 = 550\,848$ دج.

المثال 2: الدفعة اللازمة لتسديد دين

على مؤسسة دين قيمته اليوم 900 000 دج، تسدّده بخمس دفعات سنوية ثابتة أولاها بعد سنة، بمعدل 10 %.

$ a = \dfrac{V_0}{3{,}790787} $

$ a = \dfrac{900\,000}{3{,}790787} $

أي $a = 237\,417{,}72$ دج. وبالصيغة المباشرة مع $(1{,}10)^{-5} = 0{,}620921$ نجد $a = \dfrac{90\,000}{0{,}379079} = 237\,417{,}53$ دج؛ الفرق بضعة سنتيمات بسبب التقريب. تحقّق: $237\,417{,}72 \times 3{,}790787 = 900\,000{,}01$ دج.

المثال 3: استنتاج عدد الدفعات

تسدّد مؤسسة ديناً قيمته اليوم 1 472 017,40 دج بدفعات سنوية قدر كل منها 200 000 دج بمعدل 6 %. كم دفعة؟

$ \dfrac{V_0}{a} = \dfrac{1\,472\,017{,}40}{200\,000} $

أي $7{,}360087$، ونجده في عمود 6 % في السطر $n = 10$: عشر دفعات.

المثال 4: أقصى دين يمكن تسديده بدفعة معيّنة

تستطيع مؤسسة أن تدفع 180 000 دج في نهاية كل سنة بمعدل 8 %. هل تكفي تسع دفعات لتسديد دين قيمته اليوم 1 200 000 دج؟

$180\,000 \times 6{,}246888 = 1\,124\,439{,}84$ دج: تسع دفعات لا تسدّد إلا ديناً قيمته اليوم 1 124 439,84 دج، فهي لا تكفي. أمّا عشر دفعات فتسدّد $180\,000 \times 6{,}710081 = 1\,207\,814{,}58$ دج، فتكفي. وبعشر دفعات تكون الدفعة الدقيقة $\dfrac{1\,200\,000}{6{,}710081} = 178\,835{,}40$ دج.

ملاحظة للامتحان

• القيمة الحالية لسلسلة دفعات هي القيمة قبل الدفعة الأولى بفترة؛ إذا كان الأصل في الموضوع غير ذلك فطبّق الجزء الرابع.
• «الثمن النقدي» أو «قيمة الدين يوم نشأته» أو «مبلغ القرض» كلها قيمة حالية.
• لا تُطلب في البرنامج قيمة المعدل $i$ من هذه الصيغة؛ يُعطى المعدل دائماً.

أخطاء شائعة

• كتابة $(1+i)^{n}$ بدل $(1+i)^{-n}$ في البسط، فيصير المعامل سالباً أو غير معقول.
• استعمال معامل القيمة المكتسبة لحساب ثمن نقدي أو مبلغ قرض.
• حساب تكلفة التأجيل بـ $V_0 \times i$ بدل $n\,a - V_0$.
• قسمة الدين على $n$ لإيجاد الدفعة، أي نسيان الفوائد.

4. تقييم سلسلة دفعات ثابتة في أزمنة مختلفة

1. الفكرة الأساسية

رأينا أنّ السلسلة كلها تكافئ مبلغاً وحيداً $V_0$ في التاريخ 0، أو مبلغاً وحيداً $V_n$ في التاريخ $n$. لذلك، لتقييم السلسلة في أيّ تاريخ آخر $p$، نعامل $V_0$ (أو $V_n$) كرأس مال وحيد وننقله إلى التاريخ $p$ بقاعدة درس الفوائد المركبة. نرمز لقيمة السلسلة في التاريخ $p$ بـ $X_p$ (ونترك الرمز $V_p$ لرأس المال المتبقي في درس القرض العادي):

$ X_p = V_0\,(1+i)^{p} $

بأُسّ موجب إذا كان التاريخ $p$ بعد الأصل، وسالب إذا كان قبله. ومنها حالات ثلاث يطرحها الامتحان: التقييم قبل الدفعة الأولى بأكثر من فترة، والتقييم بعد الدفعة الأخيرة، والتقييم بين دفعتين.

2. مثال مرجعي: سلسلة واحدة في خمسة تواريخ

سلسلة من 5 دفعات قدر كل منها 80 000 دج في التواريخ من 1 إلى 5، بمعدل 7 %. يُعطى: $(1{,}07)^{-2} = 0{,}873439$؛ $(1{,}07)^{3} = 1{,}225043$؛ معامل القيمة الحالية لخمس دفعات $4{,}100197$؛ معامل القيمة المكتسبة لخمس دفعات $5{,}750739$، ولثلاث دفعات $3{,}2149$؛ ومعامل القيمة الحالية لدفعتين $1{,}808018$.

$V_0 = 80\,000 \times 4{,}100197 = 328\,015{,}76$ دج و$V_5 = 80\,000 \times 5{,}750739 = 460\,059{,}12$ دج.

| تاريخ التقييم | موضعه | الحساب | القيمة (دج) | |---|---|---|---| | −2 | قبل الأصل بفترتين | 328 015,76 × 0,873439 | 286 501,76 | | 0 | الأصل | 80 000 × 4,100197 | 328 015,76 | | 3 | بعد الدفعة الثالثة | 257 192 + 144 641,44 | 401 833,44 | | 5 | الدفعة الأخيرة | 80 000 × 5,750739 | 460 059,12 | | 8 | بعد الأخيرة بثلاث فترات | 460 059,12 × 1,225043 | 563 592,20 |


يبيّن الشكل الدفعات الخمس (الأسهم الخضراء) وقيمة السلسلة كلها في خمسة تواريخ: بالأزرق قبل الدفعات (التحيين)، وبالأحمر في تاريخ الدفعة الأخيرة وبعده (الرسملة)، وبالأسود في تاريخ وسيط. كل هذه القيم متكافئة بمعدل 7 %: إنها السلسلة نفسها منظوراً إليها في تواريخ مختلفة.

3. الحالة الأولى: التقييم قبل الدفعة الأولى بأكثر من فترة

يحدث هذا عندما تبدأ الدفعات بعد مدة من التاريخ المطلوب (يقال سلسلة مؤجلة). نتبع خطوتين:

• نحسب $V_0$ بالصيغة في أصل السلسلة، أي قبل الدفعة الأولى بفترة.
• نحيّن $V_0$ كرأس مال وحيد من أصل السلسلة إلى تاريخ التقييم، بعدد الفترات $d$ التي تفصلهما.

تاريخ التقييم هو التاريخ $-d$ على محور السلسلة، فقيمتها فيه:

$ X_{-d} = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,(1+i)^{-d} $

مثال: إيجارات تبدأ بعد سنتين

تملك مؤسسة «الحضنة للتخزين» مستودعاً ستؤجّره، وستقبض 4 إيجارات سنوية قدر كل منها 100 000 دج يوم 31/12 من السنوات 2028 إلى 2031. ما قيمة هذه الإيجارات يوم 31/12/2025 بمعدل 8 %؟

• أصل السلسلة قبل الإيجار الأول بسنة: 31/12/2027. وتاريخ التقييم 31/12/2025 قبله بسنتين، فـ $d = 2$.
• القيمة في أصل السلسلة: $100\,000 \times 3{,}312127 = 331\,212{,}70$ دج.
• التحيين سنتين: $331\,212{,}70 \times 0{,}857339 = 283\,961{,}57$ دج.

طريقة الفرق (للتحقّق): لو كانت هناك دفعات في كل التواريخ من 1 إلى 6 لكانت قيمتها $a \times 4{,}622880$، ونطرح منها الدفعتين غير الموجودتين في التاريخين 1 و2 ($a \times 1{,}783265$)، فنجد $100\,000 \times 2{,}839615 = 283\,961{,}50$ دج، وهي النتيجة نفسها بفرق سنتيمات التقريب.

4. الحالة الثانية: التقييم بعد الدفعة الأخيرة

نحسب $V_n$ في تاريخ الدفعة الأخيرة، ثم نرسملها كرأس مال وحيد بعدد الفترات $k$ التي تلي الدفعة الأخيرة، فنحصل على قيمة السلسلة في التاريخ $n + k$:

$ X_{n+k} = a\,\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}\,(1+i)^{k} $

مثال: في الجزء الثاني بلغ رصيد مؤسسة «الطاسيلي» 2 387 277,25 دج يوم إيداعها الأخير 31/12/2032 (بمعدل 5 %). إذا تركت الرصيد موظَّفاً دون إيداعات جديدة حتى 31/12/2035، فرصيدها $2\,387\,277{,}25 \times 1{,}157625 = 2\,763\,571{,}83$ دج. الخطأ الشائع هنا هو حساب $V_{11}$ بمعامل 11 دفعة، كأنّ الإيداعات استمرّت.

5. الحالة الثالثة: التقييم بين دفعتين

في تاريخ الدفعة رقم $p$ (بعد دفعها) تنقسم السلسلة قسمين:

• الدفعات المنجزة من 1 إلى $p$: نأخذ قيمتها المكتسبة في التاريخ $p$؛
• الدفعات الباقية من $p+1$ إلى $n$، وعددها $n - p$: التاريخ $p$ هو أصلها، فنأخذ قيمتها الحالية فيه.

$ X_p = a\,\dfrac{(1+i)^p - 1}{i} + Q_p $

حيث $Q_p$ قيمة الدفعات الباقية في التاريخ $p$:

$ Q_p = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-(n-p)}}{i} $

في المثال المرجعي، في التاريخ 3: الدفعات المنجزة $80\,000 \times 3{,}2149 = 257\,192$ دج، والدفعتان الباقيتان $80\,000 \times 1{,}808018 = 144\,641{,}44$ دج، والمجموع 401 833,44 دج. تحقّق: $V_0(1{,}07)^3 = 328\,015{,}76 \times 1{,}225043 = 401\,833{,}41$ دج، والفرق 3 سنتيمات سببه التقريب.

> القيمة الحالية للدفعات الباقية بعد الدفعة $p$ هي الدَّين المتبقي على المقترض في ذلك التاريخ. في درس القرض العادي يُرمز لرأس المال المتبقي بعد الدفعة $p$ بـ $V_p$، ويُحسب بهذه الصيغة دون إنجاز الجدول كله: $V_p = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-(n-p)}}{i}$ (أمّا الحرف $R_p$ في التصحيحات فهو المبلغ المسدَّد من الأصل، لا الباقي).

6. ملخّص: أيّ صيغة لأيّ تاريخ؟

| تاريخ التقييم | الطريقة | |---|---| | الأصل (قبل الدفعة الأولى بفترة) | $V_0$ مباشرة | | قبل الأصل بـ $d$ فترة | $V_0(1+i)^{-d}$ | | تاريخ الدفعة الأخيرة | $V_n$ مباشرة | | بعد الدفعة الأخيرة بـ $k$ فترة | $V_n(1+i)^{k}$ | | تاريخ الدفعة $p$ (بين الأصل والأخيرة) | منجزة مرسملة + باقية محيَّنة، أو $V_0(1+i)^p$ |

ملاحظة للامتحان

• حدّد أصل السلسلة قبل أيّ حساب، وميّزه عن تاريخ التقييم الذي يطلبه الموضوع؛ الخلط بينهما مصدر أغلب الأخطاء في السلاسل المؤجلة.
• في التقييم بين دفعتين، حدّد هل الدفعة الواقعة في تاريخ التقييم مدفوعة أم لا؛ الاصطلاح المعتاد أنها مدفوعة وتُحسب مع المنجزة.
• يمكن حلّ أيّ حالة بطريقتين (عبر $V_0$ أو عبر $V_n$)؛ النتائج تختلف ببضعة سنتيمات بسبب التقريب، وكلاهما صحيح.

أخطاء شائعة

• حساب $V_0$ للسلسلة المؤجلة في تاريخ التقييم مباشرة، دون التحيين الإضافي بـ $d$ فترة.
• عدّ فترات التأجيل حتى الدفعة الأولى بدل عدّها حتى أصل السلسلة (فترة زائدة).
• بعد الدفعة الأخيرة: استعمال معامل سلسلة أطول بدل رسملة $V_n$ كمبلغ وحيد.
• بين دفعتين: نسيان الدفعات الباقية أو المنجزة، أو احتساب دفعة التاريخ $p$ مرتين.

5. مقارنة مبلغ وحيد بسلسلة دفعات والانتقال إلى القرض العادي

1. قاعدة المقارنة

لا يجوز مقارنة طرق دفع مختلفة بمجموع مبالغها الاسمية، لأنّ مبالغها تقع في تواريخ مختلفة. القاعدة هي نفسها في درس الفوائد المركبة:

> نقيّم كل طريقة في تاريخ واحد (يوم العقد غالباً، أي بالقيمة الحالية) وبالمعدل نفسه، ثم نقارن. المدين (من يدفع) يختار أصغر قيمة، والدائن (من يقبض) يختار أكبر قيمة.

وتكون طريقتان متكافئتين إذا تساوت قيمتاهما في تاريخ واحد بمعدل معيّن؛ وإذا تساوتا في تاريخ تساوتا في كل تاريخ آخر بالمعدل نفسه.

2. مثال: اختيار طريقة تسديد ثمن معدات

تريد مؤسسة «الساورة للبناء» اقتناء رافعة يوم 31/12/2025، واقترح المورّد أربع طرق، والمعدل 8 %:

• A: 1 500 000 دج نقداً يوم الاستلام؛
• B: 300 000 دج نقداً، ثم 4 دفعات سنوية قدر كل منها 360 000 دج، أولاها بعد سنة؛
• C: 6 دفعات سنوية قدر كل منها 330 000 دج، أولاها بعد سنة؛
• D: 5 دفعات سنوية قدر كل منها 400 000 دج، أولاها يوم 31/12/2028.

يُعطى بمعدل 8 %: معامل القيمة الحالية لأربع دفعات $3{,}312127$، ولخمس $3{,}992710$، ولست $4{,}622880$؛ و$(1{,}08)^{-2} = 0{,}857339$.

الطريقة D مؤجلة: الدفعة الأولى في التاريخ 3، فأصل السلسلة التاريخ 2؛ قيمتها فيه $400\,000 \times 3{,}992710 = 1\,597\,084$ دج، ثم نحيّن سنتين إلى التاريخ 0.

| الطريقة | المجموع الاسمي (دج) | الحساب في التاريخ 0 | القيمة الحالية (دج) | |---|---|---|---| | A | 1 500 000 | نقداً | 1 500 000,00 | | B | 1 740 000 | 300 000 + 360 000 × 3,312127 | 1 492 365,72 | | C | 1 980 000 | 330 000 × 4,622880 | 1 525 550,40 | | D | 2 000 000 | 1 597 084 × 0,857339 | 1 369 242,40 |

القرار: المؤسسة مدينة، فتختار أصغر قيمة حالية: الطريقة D (1 369 242,40 دج)، رغم أنّ مجموعها الاسمي هو الأكبر (2 000 000 دج). الترتيب بالقيم الحالية: D ثم B ثم A ثم C. هذا المثال يبيّن لماذا تُعدّ المقارنة بالمجاميع الاسمية خطأً جسيماً: كانت ستجعل D أسوأ الطرق وهي أفضلها.

3. مثال: الدائن يختار بين مبلغ حاضر وسلسلة

تبيع مؤسسة آلة مستعملة، ويعرض عليها المشتري: إمّا 1 000 000 دج نقداً، وإمّا 5 دفعات سنوية قدر كل منها 240 000 دج أولاها بعد سنة. المعدل 8 %.

قيمة السلسلة اليوم: $240\,000 \times 3{,}992710 = 958\,250{,}40$ دج. المؤسسة دائنة فتختار الأكبر: المبلغ النقدي (1 000 000 دج)، رغم أنّ مجموع الدفعات 1 200 000 دج.

4. استبدال دين أو سلسلة بسلسلة مكافئة

الحالة 1: مبلغ وحيد مؤجل يُستبدل بدفعات ثابتة

على مؤسسة دين قدره 2 000 000 دج يستحق بعد 3 سنوات، وتتفق مع الدائن على تسديده بخمس دفعات سنوية ثابتة أولاها بعد سنة، بمعدل 8 % ($(1{,}08)^{-3} = 0{,}793832$). قيمة الدين اليوم $2\,000\,000 \times 0{,}793832 = 1\,587\,664$ دج، ونكتب التكافؤ في التاريخ 0:

$ a \times 3{,}992710 = 1\,587\,664 $

إذن $a = \dfrac{1\,587\,664}{3{,}992710} = 397\,640{,}70$ دج.

الحالة 2: سلسلة تُستبدل بسلسلة أطول

تسدّد مؤسسة ديناً بأربع دفعات سنوية قدر كل منها 250 000 دج بمعدل 8 %، وتطلب تمديد المدة إلى ست دفعات (الأولى دائماً بعد سنة). قيمة الدين اليوم واحدة في العقدين: $250\,000 \times 3{,}312127 = 828\,031{,}75$ دج، فنكتب:

$ a' \times 4{,}622880 = 828\,031{,}75 $

والدفعة الجديدة $a' = \dfrac{828\,031{,}75}{4{,}622880} = 179\,115{,}99$ دج. تنخفض الدفعة، لكنّ المجموع المدفوع يرتفع من 1 000 000 إلى $6 \times 179\,115{,}99 = 1\,074\,695{,}94$ دج: ثمن التمديد فوائد إضافية.

> لاستبدال دين بآخر: اكتب معادلة تكافؤ في تاريخ واحد (القيمة القديمة = القيمة الجديدة) ثم استخرج المجهول.

5. من القيمة الحالية إلى القرض العادي

حين تقترض المؤسسة اليوم مبلغاً وتسدّده بدفعات ثابتة لنهاية المدة، فإنّ مبلغ القرض هو القيمة الحالية للدفعات بمعدل القرض. هذه المساواة هي أساس درس «القرض العادي: جدول الاستهلاك والتسجيل المحاسبي»، ومنها:

| العنصر | العلاقة | |---|---| | مبلغ القرض | $V_0 = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ | | الدفعة الثابتة | $a = V_0\,\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$ | | مجموع الفوائد (تكلفة القرض) | $n\,a - V_0$ | | الفائدة الأولى | $I_1 = V_0\,i$ | | الاستهلاك الأول | $A_1 = a - V_0\,i$ | | رأس المال المتبقي بعد الدفعة $p$ | $V_p = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-(n-p)}}{i}$ | | المبلغ المسدَّد من الأصل بعد الدفعة $p$ | $R_p = V_0 - V_p$ |

تنبيه حول الرموز: في درس القرض العادي يدلّ $V_p$ على رأس المال المتبقي بعد الدفعة $p$، فيكون $V_n = 0$ بعد آخر دفعة. أمّا في هذا الدرس فـ $V_n$ هو القيمة المكتسبة لسلسلة الدفعات. السياق يحدّد المعنى: في جدول القرض نتكلّم عن الباقي، وفي التوظيف عن الجملة.

مثال: قرض بخمس دفعات

اقترضت مؤسسة «الهقار للمعادن» يوم 01/01/2026 مبلغ 1 000 000 دج بمعدل 10 %، يُسدَّد بخمس دفعات سنوية ثابتة أولاها يوم 31/12/2026 (معامل القيمة الحالية لخمس دفعات $3{,}790787$، ولأربع $3{,}169865$، ولثلاث $2{,}486852$).

$ a = \dfrac{1\,000\,000}{3{,}790787} $

أي $a = 263\,797{,}46$ دج.

| العنصر | الحساب | النتيجة (دج) | |---|---|---| | مجموع الدفعات | 5 × 263 797,46 | 1 318 987,30 | | تكلفة القرض | 1 318 987,30 − 1 000 000 | 318 987,30 | | الفائدة الأولى | 1 000 000 × 0,10 | 100 000,00 | | الاستهلاك الأول | 263 797,46 − 100 000 | 163 797,46 | | رأس المال المتبقي بعد الدفعة 1 | 1 000 000 − 163 797,46 | 836 202,54 |

تحقّق بالقيمة الحالية: الدفعات الأربع الباقية قيمتها يوم 31/12/2026: $263\,797{,}46 \times 3{,}169865 = 836\,202{,}34$ دج، أي رأس المال المتبقي نفسه بفارق 20 سنتيماً سببه تقريب المعاملات. وبعد الدفعة الثانية يبقى $263\,797{,}46 \times 2{,}486852 = 656\,025{,}24$ دج.

بقية الجدول (الفائدة على الباقي، والاستهلاك، وتعديل السطر الأخير) والقيود المحاسبية 512/164 ثم 164 + 661 / 512 هي موضوع درس القرض العادي.

ملاحظة للامتحان

• في سؤال «أيّ الطرق أفضل؟» اكتب جدولاً فيه القيمة الحالية لكل طريقة، ثم القرار مع التعليل (مدين أو دائن)؛ القرار دون حساب لا يُقبل.
• الدفعة النقدية يوم العقد تدخل بقيمتها، والدفعات المؤجلة تحتاج تحييناً إضافياً.
• إذا طُلبت «أقصى مبلغ يمكن اقتراضه» بدفعة معيّنة، فالجواب قيمة حالية.

أخطاء شائعة

• المقارنة بالمجاميع الاسمية أو بقيم في تواريخ مختلفة.
• عكس المعيار: اختيار أكبر قيمة حالية والمؤسسة مدينة.
• نسيان التحيين الإضافي للسلسلة المؤجلة، أو نسيان الدفعة النقدية الأولى.
• في الاستبدال: مساواة المجموعين الاسميين بدل مساواة القيمتين في تاريخ واحد.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

تدور التمارين الثلاثة حول مؤسسة واحدة: مؤسسة «تافنة للمصبّرات»، وهي تحضّر لتجديد خط إنتاج واقتناء شاحنة توزيع. تُعطى المعاملات في الملحق، والنتائج مقرّبة إلى رقمين بعد الفاصلة.

الملحق: مستخرج من الجداول المالية

| n | $\dfrac{1{,}07^{n}-1}{0{,}07}$ | $\dfrac{1-1{,}09^{-n}}{0{,}09}$ | |---|---|---| | 3 | 3,214900 | 2,531295 | | 5 | 5,750739 | 3,889651 | | 6 | 7,153291 | 4,485919 | | 7 | 8,654021 | 5,032953 |

ومعاملات أخرى: $1{,}07^{2} = 1{,}1449$؛ $1{,}09^{1} = 1{,}09$؛ $1{,}09^{-1} = 0{,}917431$.

التمرين 1: تكوين مبلغ لتجديد خط الإنتاج

تقدّر المؤسسة أنّ خط إنتاج جديداً سيكلّف 3 000 000 دج يوم 31/12/2031. تقرّر إيداع مبلغ ثابت $a$ يوم 31/12 من كل سنة، من 31/12/2026 إلى 31/12/2031، في حساب توظيف بمعدل فائدة مركبة 7 % سنوياً.

المطلوب:

• مثّل الإيداعات على محور زمني موجه، وحدّد عددها وتاريخ القيمة المكتسبة.
• احسب الإيداع السنوي $a$ الذي يسمح بامتلاك 3 000 000 دج يوم 31/12/2031، ثم الفوائد المحقّقة.
• لأسباب تتعلّق بالخزينة اكتفت المؤسسة بإيداع 400 000 دج سنوياً. احسب الرصيد يوم 31/12/2031. هل يكفي لاقتناء الخط؟
• قرّرت المؤسسة ترك الرصيد موظّفاً دون إيداعات جديدة وتأجيل الاقتناء إلى 31/12/2033 (بالثمن نفسه). احسب الرصيد في هذا التاريخ.

الحل

1. المحور. الأصل 31/12/2025 (قبل الإيداع الأول بسنة)؛ الإيداعات في التواريخ من 1 (31/12/2026) إلى 6 (31/12/2031)؛ عددها $2031 - 2026 + 1 = 6$؛ القيمة المكتسبة في التاريخ 6، أي 31/12/2031، يوم الإيداع الأخير.

2. الإيداع السنوي والفوائد.

$ a = \dfrac{V_6}{7{,}153291} $

$ a = \dfrac{3\,000\,000}{7{,}153291} $

أي $a = 419\,387{,}38$ دج (تحقّق: $419\,387{,}38 \times 7{,}153291 = 2\,999\,999{,}97$، فرق التقريب). الفوائد المحقّقة $3\,000\,000 - 6 \times 419\,387{,}38 = 3\,000\,000 - 2\,516\,324{,}28 = 483\,675{,}72$ دج.

3. الرصيد بإيداع 400 000 دج.

$ V_6 = 400\,000 \times 7{,}153291 $

أي $V_6 = 2\,861\,316{,}40$ دج، وهو أقل من 3 000 000 دج بـ 138 683,60 دج: الرصيد لا يكفي يوم 31/12/2031.

4. الرصيد يوم 31/12/2033. بعد الإيداع الأخير يُرسمل الرصيد كمبلغ وحيد لمدة سنتين:

$ X_8 = 2\,861\,316{,}40 \times 1{,}1449 $

أي $X_8 = 3\,275\,921{,}15$ دج (التاريخ 8 على محور الإيداعات هو 31/12/2033)، وهو يكفي لاقتناء الخط ويبقى 275 921,15 دج. (لا نستعمل معامل 8 إيداعات لأنّ المؤسسة توقّفت عن الإيداع.)

التمرين 2: اختيار طريقة تسديد ثمن شاحنة التوزيع

يوم 31/12/2025 اتفقت المؤسسة مع مورّد على شراء شاحنة، واقترح ثلاث طرق للتسديد، والمعدل 9 %:

• A: 2 600 000 دج نقداً يوم الاستلام؛
• B: 500 000 دج نقداً، ثم 5 دفعات سنوية قدر كل منها 560 000 دج، أولاها يوم 31/12/2026؛
• C: 6 دفعات سنوية قدر كل منها 600 000 دج، أولاها يوم 31/12/2027.

المطلوب:

• حدّد أصل سلسلة الطريقة C وموضعه بالنسبة إلى يوم الاستلام.
• احسب القيمة الحالية لكل طريقة يوم 31/12/2025، واختر الطريقة المناسبة مع التعليل.
• ما الدفعة التي كان يجب أن يطلبها المورّد في الطريقة C (بالشروط نفسها) لتكون مكافئة تماماً للطريقة A؟

الحل

1. أصل السلسلة C. الدفعة الأولى يوم 31/12/2027، فأصل السلسلة قبلها بسنة: 31/12/2026، أي التاريخ 1 إذا كان يوم الاستلام التاريخ 0. السلسلة مؤجلة بسنة: قيمتها في أصلها $V_0$، ثم نحيّنها سنة واحدة.

2. القيم الحالية يوم الاستلام.

| الطريقة | المجموع الاسمي (دج) | الحساب | القيمة الحالية (دج) | |---|---|---|---| | A | 2 600 000 | نقداً | 2 600 000,00 | | B | 3 300 000 | 500 000 + 560 000 × 3,889651 | 2 678 204,56 | | C | 3 600 000 | 2 691 551,40 × 0,917431 | 2 469 312,69 |

تفصيل B: $560\,000 \times 3{,}889651 = 2\,178\,204{,}56$ دج، ومع الدفعة النقدية 2 678 204,56 دج. تفصيل C: في أصل السلسلة $600\,000 \times 4{,}485919 = 2\,691\,551{,}40$ دج، ثم التحيين سنة إلى يوم الاستلام.

القرار: المؤسسة مدينة، فتختار أصغر قيمة حالية: الطريقة C (2 469 312,69 دج)، رغم أنّ مجموعها الاسمي هو الأكبر. الطريقة B أغلى من الدفع نقداً بقيم اليوم.

3. الدفعة المكافئة للطريقة A. ننقل مبلغ A إلى أصل السلسلة C (التاريخ 1) بالرسملة سنة، ثم نساويه بقيمة السلسلة فيه:

$ 2\,600\,000 \times 1{,}09 = 2\,834\,000 $

$ a = \dfrac{2\,834\,000}{4{,}485919} $

أي $a = 631\,754{,}61$ دج. بهذه الدفعة تتساوى الطريقتان A وC؛ والمورّد لم يطلب إلا 600 000 دج، ولهذا كانت C في صالح المؤسسة.

التمرين 3: تمويل الشاحنة بقرض عادي

تدرس المؤسسة بدلاً من ذلك تمويل الشاحنة بقرض عادي: مبلغه 2 400 000 دج، استُلم يوم 01/01/2026، بمعدل 9 %، يُسدَّد بست دفعات سنوية ثابتة أولاها يوم 31/12/2026.

المطلوب:

• احسب الدفعة الثابتة وتكلفة القرض (مجموع الفوائد).
• احسب فائدة السنة الأولى والاستهلاك الأول ورأس المال المتبقي بعد الدفعة الأولى.
• احسب رأس المال المتبقي بعد الدفعة الثالثة دون إنجاز جدول الاستهلاك.
• تقدّر المؤسسة أنّ خزينتها لا تسمح بأكثر من 500 000 دج سنوياً لمدة ست سنوات. هل تستطيع تحمّل هذا القرض؟ وما أقصى مبلغ يمكنها اقتراضه بالشروط نفسها؟

الحل

1. الدفعة والتكلفة. مبلغ القرض هو القيمة الحالية للدفعات الست:

$ a = \dfrac{2\,400\,000}{4{,}485919} $

أي $a = 535\,007{,}43$ دج. المجموع المدفوع $6 \times 535\,007{,}43 = 3\,210\,044{,}58$ دج، فتكلفة القرض $3\,210\,044{,}58 - 2\,400\,000 = 810\,044{,}58$ دج.

2. السطر الأول.

| العنصر | الحساب | النتيجة (دج) | |---|---|---| | رأس المال أول الفترة $V_0$ | — | 2 400 000,00 | | الفائدة $I_1$ | 2 400 000 × 0,09 | 216 000,00 | | الاستهلاك $A_1$ | 535 007,43 − 216 000 | 319 007,43 | | رأس المال المتبقي $V_1$ | 2 400 000 − 319 007,43 | 2 080 992,57 |

3. رأس المال المتبقي بعد الدفعة الثالثة. يساوي القيمة الحالية للدفعات الثلاث الباقية في تاريخ الدفعة الثالثة:

$ V_3 = 535\,007{,}43 \times 2{,}531295 $

أي $V_3 = 1\,354\,261{,}63$ دج. (بإنجاز الجدول سطراً سطراً نجد 1 354 261,74 دج، والفرق سنتيمات التقريب.)

4. القدرة على الاقتراض. الدفعة المطلوبة 535 007,43 دج تتجاوز 500 000 دج، فالمؤسسة لا تستطيع تحمّل هذا القرض. أقصى مبلغ يمكنها اقتراضه هو القيمة الحالية لست دفعات من 500 000 دج:

$ V_0 = 500\,000 \times 4{,}485919 $

أي $V_0 = 2\,242\,959{,}50$ دج؛ ويبقى عليها تمويل الفرق $2\,400\,000 - 2\,242\,959{,}50 = 157\,040{,}50$ دج من مواردها الخاصة (التمويل الذاتي)، أو تمديد مدة القرض.

ملاحظة للامتحان: كيف تأتي الدفعات الثابتة في البكالوريا؟

• غالباً في جزء قصير (3 إلى 4 نقاط) أو ممهِّداً لجدول استهلاك القرض: قيمة سلسلة مؤجلة يوم الشراء، أو مقارنة طرق تسديد (دفعة نقدية + سلسلة، سلسلة مؤجلة…)، أو قيمة مكتسبة لإيداعات دورية.
• في أسئلة القرض: مبلغ القرض قيمة حالية للدفعات، ورأس المال المتبقي بعد الدفعة $k$ هو $V_k = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}$.
• تُعطى المعاملات في الملحق أو يُعطى $(1+i)^{\pm n}$ فقط؛ اكتب الصيغة ثم التعويض ثم النتيجة، وبيّن الأصل على المحور.

ما يجب استخلاصه من هذه التمارين

• ابدأ بالمحور الزمني: الأصل قبل الدفعة الأولى بفترة، والقيمة المكتسبة في تاريخ الدفعة الأخيرة.
• لتكوين مبلغ مستقبلي: معامل القيمة المكتسبة؛ لثمن نقدي أو دين أو قرض: معامل القيمة الحالية.
• السلسلة المؤجلة: قيمة حالية في أصلها ثم تحيين؛ وبعد آخر دفعة: قيمة مكتسبة ثم رسملة.
• للمقارنة أو الاستبدال: كل المبالغ في تاريخ واحد؛ المدين يختار الأصغر والدائن الأكبر.
• مبلغ القرض = القيمة الحالية للدفعات، ورأس المال المتبقي = القيمة الحالية للدفعات الباقية.